STRUKTUR ALJABAR

NAMA                     DEWA GEDE OKA R.

KELAS                    2IA03

NPM                        51412938

MATA KULIAH      MATE-MATIKA INFORMATIKA 3

1. Suatu sistem aljabar dikatakan suatu grup jika memenuhi syarat dibawah ini , kecuali ...
    a. Himp S tertutup
    b. Operasi * bersifat asosiatif
    c. Adanya unsur invers
    d. Himp S tidak tertutup

2. Dikatakan semigroup jika memenuhi syarat :
    a. Himp S tertutup dan Operasi * bersifat asosiatif
    b. Himp S tidak tertutup dan adanya unsur invers
    c. Himp S tertutup
    d. Himp S tidak tertutup dan Operasi * bersifat asosiatif

3.Jika diketahui suatu himpunan memenuhi syarat-syarat berikut :
    Himp S Tertutup
    Operasi * bersifat asosiatif
    Pada S terdapat identitas untuk operasi *
        Maka, termasuk ke dalam sistem aljabar...
    a. Semigroup
    b. Monoid
    c. Grup
    d. A & B benar

4.Jika syarat yg terpenuhi adalah :
     Himp S tertutup, dan
     Operasi * bersifat asosiatif
    Maka, termasuk ke dalam sistem aljabar ...
    a. Monoid
    b. Grup
    c. Monoid dan Group
    d. Salah semua    

5. apakah operasi dikatakan group terhadap bilangan kelipatan 4 ?
     a. ya       
     b.tidak        
     c. bersifat monoid
     d. salah semua

  6.(W+) jika W adalah himpunan bilangan bulat, maka w dapat dikatakan  …. ?
     a. Semi group   
     b. Monoid        
     c. Groupd
     d. Ring.

  7.Tentukan system Aljabar dari Himpunan berikut :
     (A+) = (….,-2,-1,0,1,2,..), A adalah himpunan bilangan bulat, maka A dapat dikatakan …. ?
     a. semigroup
     b. monoid
     c. Group
     d. Salah semua

  8.dari pernyataan dibawah ini yang merupakan syarat suatu himpunan dikatakakan monoid jika :
    1. Himpunan S tertutup
    2. Operasi * bersifat asosiatif
    3. Pada S terdapat identitas untuk operasi *
    4. Setiap anggota S mempunya invers untuk operasi *
    Pernyataan yang benar diatas adalah …. ?
    a. 1,2,3,4
    b. 1,2
    c. 1,2,3
    d. 1

  9. G = {-1, 1} adalah suatu himpunan. Apakah G merupakan suatu grup terhadap penjumlahan (G, +) ?

 10. Misalkan himpunan bilangan asli N, didefinisikan operasi biner:
                          a * b = a + b + ab
     Tunjukan bahwa (N, *) adalah suatu semigroup !

    Penyelesaian soal diatas

    1. D. Himp S tidak tertutup
    2. A. Himp S tertutup dan Operasi * bersifat asosiatif
    3. D. A&B benar
    4. D. Salah semua   
    5. A. Ya
    Penyelesaian :
    {4,8,12,16,20}
    a. 4+4 = 8
         4+8 = 12
         12+4 = 16
         16+4 = 20, tertutup terhadap penjumlahan

    b. a+(b+c)    = (a+b) + c
        4+(8+12) = (4+8)+12
        4+ 12 =  12 +12
          24    =  24, bersifat asosiatif

    c. a*e = e*a
           4+0 = 0+4 = 4, identitas

    d. a+b = identitas
           4+(-4) = 0, invers
    
    Jadi terbukti bahwa operasi bersifat group terhadap bilangan kelipatan 4.

    6. A. Semi Group
        Penyelesaian :
        {1,2,3,..}
         a. 1+1  = 2
             2+1 = 3
             3+1 = 4    tertutup terhadap penjumlahan
         b. (a + b ) + c = a + (b + c ) ∈ W
              (3 + 2) + 1 = 3 + (2 + 1)
                           6   =   6    asosiatif
    jadi terbuki bahwa himpunan bilangan bulat merupakan semigrup

    7. C. Group
        Penyelseaian :
        a. -2+2 = 0
            -1+0 = -1 , Tertutup terhadap penjumlahan

       b.   a + (b + c)  =  ( a + b) + c
            3 + ( 6 + 9 ) =  (3 + 6 ) + 9
                    18        =    18                asosiatif

       c. a * e = e * a = a
              9 + 0 = 0 + 9 = 9

       d. a + b = identitas
           9 + (-9) = 0    identitas ada

          Jadi, A adalah Group

    8.  C. 1,2,3

    9.  (G, +) bukan suatu group.
         Penyelesaian:
         Daftar Cayley G = {-1, 1} terhadap (G, +) sebagai berikut

                                                  

Berdasarkan daftar Cayley dari tabel di atas, operasi penjumlahan himpunan G = {-1, 1} menghasilkan {-2, 0, 2}. Dikarenakan {-2, 0, 2} adalah bukan merupakan anggota dari himpunan G = {-1, 1}, maka G = {-1, 1} tidak tertutup terhadap operasi penjumlahan. Jadi, (G, +) bukan suatu group.

   10. bahwa (N, *) adalah suatu semigroup
         Tertutup
        Ambil sebarang a, b € N, karena a, b € N, dan ab € N maka  a *  b = a + b + ab € N.
        Jadi, N tertutup terhadap operasi biner * .

        Assosiatif
        Ambil sebarang a, b, c * N, maka
         (a * b) * c = (a + b + ab)  * c
                          = (a + b + ab) + c + (a + b + ab)
                          = a + b + ab + c + ac + bc + abc
                             a * (b * c) = a *  (b + c + bc)
                          = a + (b + c + bc) + a (b + c + bc)
                          = a + b + c + bc + ab + ac + abc
       Maka untuk setiap a, b, c € N berlaku (a * b) * c = a *  (b * c). Jadi, (N, *) merupakan suatu semigrup.